פִּתְרוֹן מִשְׁוָאָה רִבּוּעִית

הֶעָרָה: אִם הַדַּף הַזֶּה נִרְאֶה לָכֶם עָלוּב, טָעוּת הִיא בְּיָדְכֶם. הַדַּפְדְּפָן שֶׁלָּכֶם עָלוּב. עִבְרוּ לְמוֹזִילָה פָיֶרְפוֹקְס - עַכְשָׁו! (לְהוֹרָדָה)

מִקְרָא: $a$,‏ $b$ וְ $c$ הֵם קְבוּעִים, $x$ הוּא הַמִּשְׁתַּנֶּה הַנֶּעֱלָם.

נְתוּנָה הַמִּשְׁוָאָה הַבָּאָה: $a{x}^2+bx+c=0\bigwedge a\ne 0$. כֵּיוָן שֶׁ $a\ne 0$ מֻתָּר לְחַלֵּק בְּ $a$ וְלָכֵן נְקַבֵּל: $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\bigwedge a\ne 0$. נַגְדִּיר אֵת $x^2=A^2$ וְאֵת $\frac{b}{a}x=2AB$ וּמִכָּאן $\frac{b^2}{4a^2}=B^2$. נַצִּיב אֵת הָעֲרָכִים שֶׁהִגְדַּרְנוּ בָּאֹפֶן הַבָּא: $A^2+2AB+B^2-B^2+\frac{c}{a}=0\bigwedge a\ne 0$ אוֹ עַל־פִּי הָעֲרָכִים הַמְּקוֹרִיִּים נְקַבֵּל $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\bigwedge a\ne 0$. נִתַּן לְזַהוֹת בָּאֲגַף הַשְּׂמַאלִי נֻסְּחַת כֶּפֶל מְקֻצַּר הֲפוּכָה: $\left(A^2+2AB+B^2\right)-B^2+\frac{c}{a}=0\bigwedge a\ne 0$ אוֹ $\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\bigwedge a\ne 0$. בְּעֶזְרַת פִּתְרוֹן הִיפּוּךְ נֻסְּחַת הַכֶּפֶל הַמְּקֻצַּר נְקַבֵּל ${\left(A+B\right)}^2-B^2+\frac{c}{a}=0\bigwedge a\ne 0$ אוֹ ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\bigwedge a\ne 0$ נְרַכֵּז אֲבַרִים דּוֹמִים וּנְקַבֵּל ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)=0\bigwedge a\ne 0$. נִצּוֹר מְכַנֶּה מְשֻׁתַּף לַאֲבַרִים הָדּוֹמִים וּנְקַבֵּל: ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=0\bigwedge a\ne 0$ כָּעֵת נַעֲבִיר אֲגַפִּים: ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\bigwedge a\ne 0$. נוֹצִּיא שֹׁרֶשׁ רִבּוּעִי וּנְקַבֵּל: $\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\pm \sqrt[2]{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\bigwedge a\ne 0$. נַפְרִיד בֵּין שֹׁרֶשׁ הַמְּכַנֶה לְשֹׁרֶשׁ הַמֹּנֶה וּנְקַבֵּל: $\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\pm \frac{\sqrt[2]{b^2-4ac}}{\sqrt[2]{4a^2}}\bigwedge a\ne 0$. נְחַלֵּץ אֵת שֹׁרֶשׁ הַמְּכַנֶה: $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}\bigwedge a\ne 0$ בְּעֶזְרַת הָעֲבַרַת אֲגַפִּים נְבֹדֶּד אֵת הַנֶּעֱלָם $x$ וּנְקַבֵּל: $x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}\bigwedge a\ne 0$. נִצּוֹר מְכַנֶה מְשֻׁתַּף $\mathrm{2a}$, וּבֹדַּדְנוּ אֵת הַנֶּעֱלָם: $x=\frac{-b\pm \sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}\bigwedge a\ne 0$. אִם $b^2-4ac>0$ אַז קָיַּמִים שְׁנֵי פִּתְרוֹנוֹת מָמַּשִׁיִּים. אִם $b^2-4ac=0$ אַז קָיַּם פִּתְרוֹן מָמַּשִׁי אֶחַד. אִם $b^2-4ac<0$ אַז לֹא קָיַּמִים פִּתְרוֹנוֹת מַמָּשִׁיִּים אַךְ קָיַּמִים שְׁנֵי פִּתְרוֹנוֹת מְרֻכַּבִים.